enruen
Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника
Інститут післядипломної освіти та довузівської підготовки
Система безперервного навчання -                    
           якісна освіта впродовж життя
 

Підготовчі курси
Дистанційне навчання
Перепідготовка фахівців
Платні курси та тренінги
Інформаційна панель
Відобразити головне меню

    Програмові вимоги

    до державного комплексного іспиту із фахових дисциплін для випускників ННІПОДН спеціальності “Математика”, освітній рівень “спеціаліст”

     

     

    Математичний аналіз

     

    1. Поняття множини. Способи задання множин. Операції над множинами. Властивості операцій над множинами. Декартовий добуток множин. Означення відображення і функції. Графік функції. Обмежені множини. Еквівалентні множини. Зліченні і незліченні множини. Властивості зліченних множин. Потужність континуума. Дійсні числа. Основні властивості дійсних чисел.

    2. Поняття числової послідовності. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності. Означення границі числової послідовності. Властивості границі послідовності. Монотонні послідовності. Теорема Вейєрштраса про границю монотонної послідовності. Число «е» та стала Ейлера. Критерій Коші збіжності числової послідовності.

    3. Різні означення границі функції в точці та їх еквівалентність. Односторонні границі функції в точці. Арифметичні дії над функціями, що мають скінченні границі. Перша та друга визначна границі. Границя монотонної функції. Загальна ознака Больцано-Коші існування скінченної границі функції в точці.

    4. Порівняння нескінченно малих та нескінченно великих функцій. Різні означення неперервності функції в точці. Точки розриву.  Одностороння неперервність функції. Неперервність і розриви монотонної функції. Неперервність основних елементарних функцій. Теореми про неперервність складеної та оберненої функції. Поняття рівномірної неперервності функції. Теорема Кантора про рівномірну неперервність функції на відрізку. 

    5. Означення похідної функції в точці. Фізичний та геометричний зміст похідної. Похідні основних елементарних функцій. Похідна складеної та оберненої функції. Формула для приросту функції. Найпростіші правила обчислення похідної. Диференціал функції в точці та його властивості. Застосування інтеграла до наближених обчислень. Основні теореми диференціального числення.

    6. Формула Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для довільної функції. Різні форми запису формули Тейлора. Розклади основних елементарних функцій за формулою Тейлора. Розкриття невизначеності за допомогою похідної. Невизначеність . Правило Лопіталя-Бернуллі.

    7. Умова сталості функції на проміжку. Умова монотонності функції. Максимум і мінімум функції. Точки екстремуму та стаціонарні точки функції. Необхідна умова дослідження функції на екстремум. Достатні умови дослідження функції на екстремум. Перше та друге правило. Застосування похідних вищих порядків до дослідження функції на екстремум. Найбільше та найменше значення функції на відрізку. Умови опуклості функції. Відшукання точок перегину графіка функції. Застосування другої похідної для дослідження графіка функції на опуклість (вгнутість). Нескінченні розриви і проміжки. Асимптоти функції. Правила для знаходження вертикальних, горизонтальних та похилих асимптот.

    8. Первісна функції. Означення і властивості невизначеного інтеграла. Таблиця невизначених інтегралів. Заміна змінних та інтегрування частинами у невизначному інтегралі. Інтегрування раціональних виразів. Прості дроби та їх інтегрування. Метод невизначених коефіцієнтів. Виділення раціональної частини. Інтегрування деяких виразів, які містять радикали. Інтегрування виразів, що містять тригонометричні та показникові функції. Інтегрування деяких трансцендентних функцій.

    9. Означення і умови існування визначеного інтеграла. Необхідна умова інтегрованості. Суми Дарбу та їх властивості. Обчислення визначеного інтеграла. Формула Ньютона-Лейбніца. Інтегрування частинами та формула заміни змінних у визначеному інтегралі. Застосування визначеного інтеграла у фізиці і геометрії.

    10. Поняття числового ряду та його основні властивості. Ряди з додатними елементами. Необхідна ознака збіжності ряду. Ознаки порівняння. Достатні ознаки збіжності числових рядів. Ознаки Даламбера, Коші, інтегральна ознака Коші. Абсолютна та умовна збіжності числових рядів. Властивості збіжних рядів. Степеневі ряди. Радіус та область збіжності степеневого ряду. Теорема Абеля. Ряд Тейлора. Розвинення основних елементарних функцій в ряд Тейлора.

     Алгебра і геометрія

     

    1. Вступ до алгебри. Бінарні відношення на множині. Властивості. Відношення еквівалентності, порядку. Принцип математичної індукції. Перестановки. Підстановки.

    2. Основні алгебраїчні структури. Поле С. Основні алгебраїчні структури. Група. Кільце. Поле. Операції над комплексними числами. Піднесення до степеня і добування кореня. Корені з одиниці. Поле комплексних чисел. Форми комплексного числа.

    3. Кільце поліномів. Поліноми від однієї змінної. Подільність поліномів. Поліноми над числовими полями. Поліном від багатьох змінних.

    4. Матриці і визначники. Поняття матриці. Дії над матрицями. Види матриць. Визначники малих порядків. Визначники n-го порядку. Властивості. Мінори та алгебраїчні доповнення. Обчислення визначників.

    5. Системи лінійних рівнянь. Системи лінійних рівнянь. Загальний аналіз. Метод Гауса. Розв’язування систем лінійних рівнянь. Метод Крамера. Матричний метод розв’язування систем лінійних рівнянь.

    6. Векторні простори. Основні поняття. Розмірність і базис. Лінійні перетворення. Операції над лінійними перетвореннями. Перехід до нового базису. Інваріанти підпростори. Власні вектори і власні значення. Евклідові простори. Скалярний добуток в координатах. Лінійні перетворення в евклідовому просторі.

    7. Квадратичні форми у векторному просторі. Зведення квадратичної форми до суми квадратів. Метод Лангранжа. Метод Якобі.

    8. Поняття вектора. Основні означення. Колінеарні та компланарні вектори. Додавання та віднімання векторів. Властивості даних операцій. Множення векторів на скаляр. Властивості.

    9. Поняття лінійної залежності та незалежності векторів. Основні теореми. Базис системи векторів. Координати вектора. Дії над векторами в координатній формі. Ортормовані базиси.

    12. Скалярний добуток двох векторів. Властивості. Застосування. Означення векторного добутку. Основні властивості даної операції та її застосування до розв’язування задач. Поняття мішаного добутку трьох векторів. Властивості. Застосування до розв’язування задач.

    13. Різні способи задання прямої на площині. Частинні випадки загального рівняння прямої. Взаємне розташування двох прямих на площині. Умова паралельності. Кут між двома прямими. Умова перпендикулярності.

    14. Різні способи задання площини. Різні способи задання прямої просторі. Відстань від точки до площини. Взаємне розташування двох площин. Умова паралельності між двома площинами. Умова перпендикулярності. Відстань між двома паралельними площинами. Пряма і площина в просторі. Взаємне розташування двох прямих у просторі.

    15. Загальне рівняння лінії другого порядку. Означення еліпса. Канонічне рівняння. Властивості та зображення. Означення гіперболи та її канонічне рівняння. Властивості та зображення. Означення параболи та її канонічне рівняння. Властивості та зображення.

    16. Поняття полярних координат. Зв'язок між полярними та прямокутними декартовими координатами. Рівняння деяких ліній в полярних координатах.

    17. Загальне рівняння поверхні другого порядку. Еліпсоїд. Властивості. Зображення.

    18. Поняття циліндричної поверхні. Поняття конічної поверхні. Поверхні обертання.

    19. Поняття загального рівняння поверхні другого порядку.

     Алгебра і теорія чисел

     

    1. Вступ до алгебри. Множини, відображення, відношення. Принцип математичної індукції. Підстановки, властивості. Поняття про основні алгебраїчні структури. Поле комплексних чисел. 

    2. Кільце поліномів від однієї змінної. Подільність в кільці поліномів від однієї змінної. Алгоритм Евкліда, НСД, НСК. Корені поліномів, звідність поліномів, основна теорема теорії поліномів. Відокремлення кратних множників полінома. Поліноми над числовими полями.

    3. Кільце поліномів від багатьох змінних. Лексикографічне розміщення членів полінома. Симетричні поліноми. Основна теорема про симетричні поліноми. Результант поліномів. Дискримінант полінома.

    4. Кільце цілих чисел. Подільність в кільці цілих чисел. Неперервні (ланцюгові) дроби. Ціла і дробова частини числа. Трансцедентні числа. Системи числення.

    5. Елементи теорії конгруенцій першого степеня. Означення і властивості конгруенцій. Класи лишків за модулем. Способи розв’язування конгруенцій 1-го степеня. Теореми Ейлера і Ферма. Системи конгруенцій 1-го степеня, способи їх розв’язування.

    7. Основи теорії груп. Групи, підгрупи, перетин підгруп. Типи груп. Розбиття групи за підгрупою. Фактор-група. Гомоморфізм груп. Основна теорема про гомоморфізми. Елементи теорії представлень груп.

     Дискретна математика

     

    1. Множини та способи їх задання.

    2. Операції над множинами.

    3. Властивості операцій над множинами.

    4. Нескінченні множини та їх приклади. Числові множини.

    5. Зліченні множини та теореми про зліченні множини.

    6. Незліченні множини. Перша та друга теореми Кантора.

    7.      Означення відношення.

    8.      Способи задання відношень.

    9.      Операції над відношеннями.

    10.  Властивості відношень.

    11. Поняття про бінарні відношення.

    12. Властивості бінарних відношень.

    13.  Відношення еквівалентності та розбиття множини.

    14.  Відношення строгого порядку.

    15.  Відношення нестрогого порядку.

    16.  Частково впорядковані множини.

    17.  Комбінаторний принцип рівності та його застосування до розв’язування задач.

    18.  Комбінаторний принцип суми та його застосування до розв’язування задач.

    19.  Комбінаторний принцип добутку та його застосування до розв’язування задач.

    20.  Задача про потужність булеана скінченної множини.

    21.  Задача про число перестановок елементів ск. множини.

    22.  Задача про число -перестановок -елементної множини.

    23.  Задача про число -сполучень -елементної множини.

    24.  Узагальнені факторіальні степені.

    25.  Поняття про принцип вкл.-викл.

    26.  Застосування  принципу вкл.-викл. до виведення функції Ойлера.

    27.  Задача про безлади.

    28.  Біном Ньютона.

    29.  Властивості біноміальних коефіцієнтів.

    30.  Трикутник Паскаля та його властивості.

    31.  Числові послідовності.

    32.  Скінченні лінійні рекурентні рівняння.

    33.  Нескінченні лінійні рекурентні рівняння.

    34.  Метод генератрис.

    35. Означення графів. Графічне задання графів.

    36. Задання графів матрицею суміжностей.

    37. Задання графів матрицею інцидентностей.

    38. Задання графів матрицею Кірхгофа.

    39. Деякі теореми про графи.

    40. Маршрути, ланцюги, цикли на графах.

    41. Деякі класи графів (повні, дводольні, дерева).

    42. Плоскі та неплоскі графи.

    43. Ізоморфізм графів.

    44. Дерева та їх властивості.

    45. Теорема Ойлера про плоскі графи.

    46. Графи  та .

    47. Теорема Куратовського-Понтрягіна.

    48. Теорема про правильні многогранники.

    49. Ойлерові графи.

    50. Теорема про дводольні графи.

    51. Вступ до криптографії.

    52. Способи шифрування інформації.  Метод підстановки.

    53. Способи шифрування інформації.  Метод перестановки.

    54. Способи шифрування інформації.  Метод Тритеміуса        

    55. Метод дихотомії кодування інформації.

    56. Метод Фано.


     Диференціальні рівняння       

     

    1.  Диференціальні рівняння першого порядку:

    − Рівняння з відокремлюваними змінними та звідні до них.

    − Однорідні рівняння та звідні до них.

    − Рівняння в повних диференціалах. Інтегрувальний множник.

    − Лінійні рівняння та звідні до них.

    − Рівняння, не розв’язані відносно похідної.

    2.  Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків.

    − Рівняння, які інтегруються у квадратурах. Рівняння, які допускають зниження порядку.

    − Лінійні однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами.

    − Лінійні неоднорідні рівняння (методи варіації довільних сталих, невизначених коефіцієнтів).

    − Лінійні рівняння зі змінними коефіцієнтами.

    3.  Системи диференціальних рівнянь.

    − Методи розв’язування лінійних однорідних систем.

    − Методи розв’язування лінійних неоднорідних систем.

     

     Теорія ймовірностей

     

    1. Загальне означення випадкової величини та вектора, борельова σ-алгебра.

    2. Функція розподілу та її властивості, породжена міра Лебега-Стілтьєса.

    3. Функції від випадкової величини, перетворення величин.

    4. Обчислення математичного сподівання(дискретний та неперервний випадки).

    5. Математичне сподівання добутку та дисперсія суми незалежних величин.

    6. Граничні теореми Пуассона, Муавра-Лапласа.

    7. Посилений закон великих чисел Колмогорова.

    8. Класична центральна гранична теорема.

    9. Статистики, оцінки та їх властивості.

    10. Статистичні критерії, рівень та потужність, найпотужніші критерії.

                                                          




    MasSerg © 2013. All Rights Reserved.
    Precarpathian university.Ukraine.